| Изучение замкнутых поверхностей началось в 18 веке с теоремы Эйлера: В – Р + Г = 2 для всякого выпуклого многогранника. Но для невыпуклых многогранников выражение х = В – Р + Г может принимать совсем другие значения. Приняв значение х за численную характеристику поверхности, мы получаем ее первый топологический инвариант: он позволяет доказать, например, что тор не эквивалентен кренделю. Но различить таким образом тор и бутылку Клейна не удается: нужен другой инвариант, выражающий ориентируемость поверхности. В конце 19 века Пуанкаре навел алгебраический порядок среди всех замкнутых поверхностей. Одновременно Хивуд связал эйлерову характеристику х с наименьшим числом цветов, необходимых для раскраски любой карты на данной поверхности. В ХХ веке геометры стали изучать поверхности с новой точки зрения: какие из них являются границами неких тел, и какие из них можно изобразить в пространстве без самопересечений. Пути решения этих проблем рассмотрены в брошюре. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников, студентов, учителей.
|